गणित में AI

गणित में AI — आर्टिफ़िशियल इंटेलिजेंस के सिस्टम, जो प्रमेय सिद्ध करते हैं, ओलंपियाड और शोध के सवाल हल करते हैं और प्रमाणों की जाँच करते हैं। इसमें अहम भूमिका औपचारिक भाषा Lean की है: इस भाषा में लिखे प्रमाण को कंप्यूटर जाँचता है, इसलिए AI के नतीजे को ख़ुद मॉडल पर भरोसा किए बिना परखा जा सकता है।

तीन साल में यह क्षेत्र ओलंपियाड में रजत पदक के स्तर (2024) से नए नतीजों वाली सैकड़ों पांडुलिपियों (2026) तक पहुँच गया।¹² इससे गणितज्ञों में उत्साह भी जागा और चिंता भी: टेरेंस ताओ कहते हैं कि “हम अब गणित में प्रमाणों की भरमार के दौर में प्रवेश कर रहे हैं”, और अंतरराष्ट्रीय गणितीय संघ ने उस घोषणापत्र का समर्थन किया, जिसके अनुसार गणित इंसानों का काम बना रहना चाहिए।³⁴

इतिहास

14.12.2023Google DeepMind Nature में FunSearch सिस्टम प्रकाशित करता है: भाषा मॉडल ने स्वचालित जाँच के साथ मिलकर बड़े cap set की नई संरचनाएँ खोजीं — पहले से ज्ञात संरचनाओं से बेहतर।⁵ ¶ cza2rk877
25.07.2024DeepMind के सिस्टम AlphaProof और AlphaGeometry 2 अंतरराष्ट्रीय गणित ओलंपियाड के छह में से चार सवाल हल करते हैं — 28 अंक, रजत पदक का स्तर; एक सवाल कुछ मिनटों में, बाक़ी — तीन दिन तक में। AlphaProof पहले से प्रशिक्षित भाषा मॉडल को रीइन्फ़ोर्समेंट लर्निंग के एल्गोरिदम AlphaZero से जोड़ता है और Lean में दावे सिद्ध करता है।¹ ¶ cpmp95wjd
14.05.2025DeepMind का AlphaEvolve 4×4 कॉम्प्लेक्स मैट्रिक्स को 48 स्केलर गुणाओं में गुणा करने का तरीक़ा खोजता है — 1969 के श्ट्रासेन (Strassen) एल्गोरिदम से बेहतर। 50 से ज़्यादा खुले सवालों पर सिस्टम ने लगभग 75% मामलों में सबसे अच्छे ज्ञात हल दोहराए, और 20% में उन्हें बेहतर बनाया।⁶ ¶ cz2yux3ij
19.07.2025OpenAI दावा करती है कि उसके प्रायोगिक रीज़निंग मॉडल ने ओलंपियाड में स्वर्ण पदक के स्तर का नतीजा दिखाया।⁷ ¶ ccp7fkcq7
21.07.2025DeepMind का Gemini Deep Think आधिकारिक तौर पर ओलंपियाड का स्वर्ण पाता है: छह में से पाँच सवाल पूरी तरह हल, 42 में से 35 अंक, प्रतियोगिता के 4.5 घंटों के भीतर; नतीजे को ओलंपियाड के समन्वयकों ने उन्हीं मानदंडों पर आधिकारिक रूप से जाँचा और पुष्ट किया, जिन पर स्कूली छात्रों के हल जाँचे जाते हैं।⁸ ¶ c4xkfkcjr
08.09.2026OpenAI बताती है कि उसके आंतरिक मॉडल ने नेवियर–स्टोक्स (Navier–Stokes) समीकरणों (बाहरी बल के साथ) में सिंगुलैरिटी की संभावना सिद्ध की, जिसमें 88 घंटों में लगभग 10,000 एजेंट लगे; प्रमाण Lean में औपचारिक रूप से लिखा गया है।⁹ ¶ cfknhmsr6
08.10.2026Science में DeepMind का AlphaProof Nexus एजेंट पर पेपर छपता है: उसने ख़ुद एर्डोश की 353 खुली समस्याओं में से 9 हल कीं और पूर्णांक अनुक्रमों के ऑनलाइन विश्वकोश OEIS के 492 अनुमानों में से 44 सिद्ध किए, हर प्रमाण Lean में जाँचा गया। उसी अंक में गणितज्ञ जेरेमी एविगाड और मैथ्यू बैलार्ड की टिप्पणी है — “गणितीय शोध के लिए AI आ चुका है”।¹⁰ ¶ ckdzaxmkz

यह कैसे काम करता है

दो तरीक़े हैं। पहले में मॉडल प्रोग्राम या संरचनाओं के रूप में हल खोजता है, और एक स्वचालित मूल्यांकक जाँचता है कि वे ज्ञात हलों से बेहतर हैं या नहीं: FunSearch और AlphaEvolve ऐसे ही काम करते हैं। दूसरे में मॉडल औपचारिक भाषा Lean में प्रमाण लिखता है, और उसे कंप्यूटर जाँचता है: AlphaProof और Math Inc कंपनी का प्रोजेक्ट Gauss ऐसे ही बने हैं। Gauss ने तीन हफ़्तों में अभाज्य संख्याओं के वितरण के बारे में प्रमेय का मज़बूत रूप औपचारिक बनाया — Lean की लगभग 25,000 पंक्तियाँ — यह काम ताओ और एलेक्स कोंटोरोविच (Alex Kontorovich) ने जनवरी 2024 में सामने रखा था।¹¹ ¶ c6575vwd8

डेटा

अध्ययन	क्या मापा गया	नतीजा
Epoch AI, FrontierMath, 07.11.2024¹²	शोध-स्तर के गणित के नए कठिन सवाल	सबसे अच्छे मॉडल 2% से कम सवाल हल कर पाए ¶ cc9ttcnpr
OpenAI, 06.10.2026²	आंतरिक मॉडल के नतीजे, GitHub पर डाले गए; ख़ुद कंपनी का आकलन	372 समूहों में 719 पांडुलिपियाँ, लगभग 4,000 तय किए गए सवाल; एक नतीजा औसतन — ChatGPT Pro के सोचने वाले मोड में लगभग तीन घंटे का काम; तीन पांडुलिपियाँ चिह्न की ग़लती के कारण जल्द ही वापस ले ली गईं ¶ cghjnybxm

[संपादकीय निष्कर्ष]

दो साल में AI शोध के सवालों पर “2% से कम” और ओलंपियाड के रजत से नए नतीजों वाली सैकड़ों पांडुलिपियों तक पहुँच गया। जाँच की जा सकना ही गणित को दूसरे क्षेत्रों से अलग करता है: Lean में लिखे प्रमाण को कंप्यूटर जाँचता है, इसलिए यहाँ AI की रफ़्तार मॉडल पर भरोसे से नहीं, बल्कि इंसानों की नतीजों को समझने और अपनाने की क्षमता से सीमित होती है। शर्तें: कुछ दावे कंपनियों के अपने आंतरिक आकलन हैं, और OpenAI के सबसे चर्चित नतीजे ऐसे मॉडल ने दिए हैं, जिसे बाहर से जाँचा नहीं जा सकता। ¶ c8xxc87et

आलोचना

अक्टूबर 2025 में शोधकर्ताओं ने बताया कि GPT-5 की मदद से उन्होंने एर्दोश (Erdős) के 10 ऐसे सवालों के हल खोजे, जिन्हें खुला माना जाता था। erdosproblems.com डेटाबेस के संरक्षक थॉमस ब्लूम (Thomas Bloom) ने इस प्रस्तुति को “एक नाटकीय ग़लतबयानी” कहा: GPT-5 ने हलों वाले पहले से प्रकाशित पेपर खोजे थे, जिनके बारे में उन्हें ख़ुद पता नहीं था, और “खुला” दर्जे का मतलब सिर्फ़ इतना था कि उन्हें ऐसा कोई पेपर मालूम नहीं। उनके अनुसार, मॉडल की साहित्य खोजने की क्षमता “पहले से ही काफ़ी उपयोगी और प्रभावशाली है, उसे वह बताने की ज़रूरत नहीं जो वह है ही नहीं!”¹³ ¶ cydu4nn57

OpenAI की इस रिलीज़ के बाद The Verge ने तीन दर्जन से ज़्यादा गणितज्ञों से बात की; बार्टोश नास्क्रेंत्स्की (Bartosz Naskręcki) ने कहा कि इससे “अकादमिक संस्कृति का भारी पतन हो सकता है”।¹⁴ ¶ c6fm7zxay

Scientific American ने 13.10.2026 को बताया कि OpenAI के नेवियर-स्टोक्स समीकरणों वाले 166 पन्नों के प्रमाण को समझने के बाद गणितज्ञों ने पाया: उसमें बाहरी बल स्पेनिश गणितज्ञों डिएगो कोर्दोबा और लुइस मार्तिनेस-सोरोआ के कार्यक्रम से बिल्कुल अलग ढंग से बनाया गया है — जबकि जारी करते समय कंपनी ने “साफ़ और बार-बार” कहा था कि प्रमाण उसी कार्यक्रम पर चलता है।¹⁵ ¶ cdpxcquac

टिमोथी गावर्स ने गणित में AI को लेकर अपना सबसे बड़ा डर बताया: “गणितीय संस्कृति का संभावित विनाश” — यानी वह ज्ञान और अनुभव, जो सिर्फ़ साहित्य में नहीं, बल्कि गणितज्ञों के दिमाग़ में भी मौजूद है।¹⁶ ¶ czth2y863

आगे का विकास

02.06.2026 को AI और गणित पर लाइडेन घोषणापत्र प्रकाशित हुआ, जिसका अंतरराष्ट्रीय गणितीय संघ ने समर्थन किया: “श्रेय और ज़िम्मेदारी गणितीय समुदाय के भीतर इंसानों की ही रहती है, और इन्हें स्वचालित सिस्टमों को नहीं दिया जाना चाहिए।”⁴ ¶ cxrzjmjxp

ताओ सुझाव देते हैं कि सवालों को हल करने के पीछे आँख मूँदकर भागना बंद किया जाए: उनके अनुसार, प्रमाणों की भरमार के दौर में यह पहले से ही गणित की लंबी अवधि की सेहत को नुक़सान पहुँचा रहा है।³

संकेत

12/10/2026विज्ञान / जैक क्लार्क: “AI रचनात्मक होता जा रहा है — गणित में भी और ख़ुद AI के शोध में भी, इसलिए पूरा पुनरावर्ती आत्म-सुधार अब 2028 के बजाय 2027 में संभव होने की ज़्यादा संभावना है”Anthropic के सह-संस्थापक, अपने न्यूज़लेटर Import AI में मॉडलों की शोध-समझ की एक जाँच पर; मई में उन्होंने 60% संभावना बताई थी कि 2028 के अंत तक कोई मॉडल ख़ुद अपना उत्तराधिकारी प्रशिक्षित कर सकेगा
09/10/2026विज्ञान / टेरेंस ताओ: “हम गणित में प्रमाणों की बहुतायत के युग में प्रवेश कर रहे हैं”Caltech में अपने व्याख्यान “Math 2.0” में — AI ने गणित के साथ क्या किया, इस पर
08/10/2026विज्ञान / ह्यूगो ड्यूमिनिल-कोपां: “OpenAI का सैकड़ों AI-प्रमाण एक साथ जारी करना “ज़बरदस्त झटका” है: गणितज्ञों के लिए “अगला दिन आ चुका है”; एक समस्या पर उन्हें लगा जैसे वे पीठ पर किसी को लादकर मैराथन दौड़े हों और वह आख़िरी 100 मीटर में उतरकर उनसे पहले रेखा पार कर गया”फ़्रांसीसी गणितज्ञ, 2022 के फ़ील्ड्स मेडल विजेता, स्विस रेडियो RTS पर — जब OpenAI ने AI प्रमाणों वाली सैकड़ों पांडुलिपियाँ जारी कीं, जिनमें से 16 उनके क्षेत्र की समस्याओं पर थीं
08/05/2026विज्ञान / टिमोथी गॉवर्स: “वह साबित करना जो LLM साबित नहीं कर सकते”फ़ील्ड्स पदक विजेता — इस पर कि ChatGPT ने एक घंटे में पीएचडी स्तर का शोध कर दिया

यह भी देखें

रीज़निंग मॉडल बड़ा भाषा मॉडल रीइन्फ़ोर्समेंट लर्निंग AI एजेंट ऑर्केस्ट्रेशन

संदर्भ

AI achieves silver-medal standard solving International Mathematical Olympiad problems — Google DeepMind, 25.07.2024. deepmind.google ↩ ↩²
openai/math — OpenAI, GitHub, 06.10.2026. github.com ↩ ↩²
Math 2.0 — Terence Tao, 10.10.2026. terrytao.wordpress.com ↩ ↩²
Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics — 02.06.2026. leidendeclaration.ai ↩ ↩²
B. Romera-Paredes et al. Mathematical discoveries from program search with large language models — Nature, 14.12.2023. nature.com ↩
AlphaEvolve: A Gemini-powered coding agent for designing advanced algorithms — Google DeepMind, 14.05.2025. deepmind.google ↩
Alexander Wei: «our latest @OpenAI experimental reasoning LLM has achieved … gold medal-level performance» — X, 19.07.2025. x.com ↩
Advanced version of Gemini with Deep Think officially achieves gold-medal standard at the International Mathematical Olympiad — Google DeepMind, 21.07.2025. deepmind.google ↩
On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem — OpenAI, 08.09.2026. openai.com ↩
Tsoukalas et al. Advancing mathematics research with AI-driven formal proof search — Science, 08.10.2026. doi.org ↩
Introducing Gauss, an agent for autoformalization — Math, Inc. math.inc ↩
E. Glazer et al. FrontierMath: A Benchmark for Evaluating Advanced Mathematical Reasoning in AI — arXiv, 07.11.2024. arxiv.org ↩
Thomas Bloom: «this is a dramatic misrepresentation» — X, 17.10.2025. x.com ↩
‘Pure insanity’: Mathematicians will need years to make sense of OpenAI’s latest drop — The Verge, 09.10.2026. theverge.com ↩
OpenAI’s blockbuster Navier-Stokes proof isn’t what we thought it was — Scientific American, 13.10.2026. scientificamerican.com ↩
Thoughts about the Leiden Declaration — Timothy Gowers, 26.07.2026. gowers.wordpress.com ↩